Probability, Frequency and Reasonable Expectation
By R T. Cox
Summary
'نقسم علماء الاحتمالات بشكل رئيسي إلى معسكرين. كلاهما يهتم بالتواتر داخل إطار تنبؤي وتوقعات معقولة. ولكن كل جانب يعطي الأولوية لواحد على الآخر كمفهوم أساسي للإحتمال. تفسير التواتر هو الأكثر شعبية، ولكن المؤلف لهذه الورقة، ريتشارد كوكس يعتقد أن هذا خطأ. يقدم مثالًا على صندوق يحتوي على كرتين بيضاء وكرة سوداء متطابقة باستثناء اللون. ثم يشرح كيف ستفسر كل مجموعة هذا الوضع. التفسير المتكرر سيقدر احتمال سحب الكرة البيضاء كـ ⅔. يحلون المشكلة عن طريق تخيل سحب كرة واحدة من عدد غير محدود من الصناديق؛ أو سحب الكرة المتكررة من صندوق ثم استبدالها. في كلا الحالتين، على مر عدد ضخم من التكرارات، سيتجمع التواتر لسحب الكرة البيضاء على ⅔. وفقًا لهم، هذا ليس تنبؤًا بنظرية الإحتمال، بل هو تعريف للإحتمال. الاحتمال هو خاصية لـ"المجموعة" (تجربة الاختبار) ولا يمكن أن تكون بدونها. في التفسير الثاني، توفر نظرية الإحتمال التوقع المعقول لسحب الكرة البيضاء ثلثي الوقت والكرة السوداء ثلث الوقت. هذه القياس للتوقعات المعقولة هو المعنى الأساسي للإحتمال وفقًا للمجموعة الثانية. هناك الكثير من القواسم المشتركة بين التفسيرين للإحتمال. يمكن لكلا الأساليب حساب الإحتمال الجبري بأن يحدث حدث ما أو لا يحدث، أو أن يحدث حدث واحد أو آخر، أو أن يحدث كلا الحدثين. كل منهما ينص أيضًا على أنه إذا كان من غير المرجح أن يحدث الحدث، فمن المرجح أن لا يحدث. بالمثل، احتمال حدوث حدثين معًا أقل من احتمال الأقل احتمالية من بين الاثنين. إذا كان التواتر والتوقعات المعقولة قابلة للتبادل بشكل مثالي، فإن الانقسام بين علماء الإحتمالات سيكون نقاشًا بحتًا للقواعد النحوية. ومع ذلك، هناك اختلافات هامة. في بعض الحالات، من المستحيل تخيل مجموعة يمكن أن تختبر تكرارًا تواتر حدث. ولكن هناك حالات لا يمكن تحديد احتمالها بواسطة مجموعة. على سبيل المثال، هناك فكرة في العلوم أنه يفضل الفرضية البسيطة على الفرضية المعقدة. أن يكون واحد أو أكثر من الفرضيات صحيحًا هو أقل احتمالية من حقيقة أن الفرضية الواحدة من نفس الاحتمالية صحيحة. هذا التفضيل هو اعتقاد معقول، ولكنه لا يملك تواتر قابل للفحص. يجادل كوكس بأن ضعف التفسير المتكرر هو أن هناك الكثير من الحالات حيث لا توجد مجموعة قابلة للتعريف. لا يمكن تبرير القواعد التي اشتقت من اختبار التواتر داخل المجموعات في الاستخدامات خارج هذا المجال. وضع جون مينارد كينز نظرية أصلية للإحتمال التي لا تعتمد على التواتر. بالنسبة لكينز، نظرية الإحتمال هي شكل من أشكال المنطق الذي ينطبق على الاستدلالات المحتملة. الاحتمال بالتالي هو درجة الاعتقاد العقلاني المقابل للفرضية واستنتاجها. يستبعد الاحتمال اليقين التام والاستحالة (مجال المنطق الاستقرائي)، ولكنه يتعلق بالقيم الواقعة بين هذين النقيضين. تعريف التواتر للغموض غير صالح لأنه يتعامل مع الإحتمال كخاصية لجسم لديه قيمة معينة، مثل المسافة أو الزمن في الميكانيكا. بينما كوكس يتفق مع وجهات نظر كينز حول الاحتمالات، كان يشعر أنه لا يزال هناك عمل يجب القيام به في تعريف المبادئ الأساسية. العديد من فرضيات نظرية الإحتمال الكينزية تأتي من دراسة ألعاب الحظ (رمي العملات، النرد، ألعاب الورق) وتحمل "آثار الأدوات" لهذا الأصل. هدف كوكس كان للحصول على مبادئ أساسية للإحتمال مستقلة عن أي مجموعة. للقيام بذلك، كوكس يحدد أساسيات المنطق الرمزي ويوفر الحادي عشر من المبادئ الأساسية. من هؤلاء، الستة هم أساسيون ويمكن استخلاص الخمسة المتبقيين من السابق. توفر هذه المبادئ القواعد الأساسية التي يمكن أن تنجز من خلالها التلاعبات الجبرية على تعبيرات الاحتمال اللوجستية، والذي يعرفه التالي. يستخدم الرموز b|a لوصف احتمال ب إذا تم قبول أنه حقيقي. يعيد صياغة هذا كـ"مصداقية ب على فرضية أ". يمكن استخدام الصيغ الرياضية للعمل على تعبيرات الاحتمال في هذا الشكل. يوضح كوكس عدة منها، بما في ذلك الضرب والأس. الافتراض الأكثر أهمية في هذا القسم هو أن احتمال c و b بناء على أ (c·b|a) يساوي احتمال c بناء على b و أ وأيضًا b بناء على أ (c·b|a = c|b·a , b|a). يشرح كوكس هذا مع مثال عن احتمال أن يستطيع العداء الجري مسافة محددة والعودة على مضمار معين بدون التوقف. القيمة a هي ما نعرفه عن الحالة البدنية للعداء والمضمار. القيمة b هي الدليل على أنه قد ركض مسافة محددة بدون التوقف. القيمة c هي أنه يمكن''لقد عاد من تلك المسافة دون توقف. الاحتمال أن العداء يمكنه الركض في الجزء الأول دون توقف مع ما نعرفه من a هو: b|a. الاحتمال أن يعود العداء دون توقف بعد أن تم الجزء الأول ومع ما نعرفه من a هو: (c|b·a). وبالتالي، فإن الاحتمال أن يستطيع العداء الجري لمسافة معينة والعودة (c·b|a) هو وظيفة للإحتمالين الأولين. الافتراض الثاني يتعلق بإحتمال b و not-b بالنظر الى a. يتم استخدام الرمز، ~b، ليعني "لا b" بمعنى أن إذا كان b يعني "السيارة بيضاء"، فيمكن أن يعني ~b "السيارة ليست بيضاء". لا ينطوي الرمز ~ على التناقض، الذي سيكون "السيارة سوداء". معادلة هامة يجب معرفتها من هذا القسم هو أن إحتمال b|a + ~b|a = 1. بمعنى آخر، مجموع الاحتمالات لـ b بالنظر الى a و not-b بالنظر الى a هو 1 (قيمة الاحتمال 1 تعني اليقين الكامل). الجزء الأول من هذا البحث زعم أن الاحتمال لديه نطاق أوسع مما يعنيه تعريف التكرار. قدم الجزء الثاني القواعد الأساسية للإحتمال من البديهيات الأساسية. الجزء الثالث من المقال يشرح كيف يتعامل هذا الفهم الجديد للإحتمال مع تكرار حدوث الحدث. Cox يعطي مثالا على عينتين من الرادون. إحداهما أقدم من الأخرى، لكنهما غير معلمتين. تم توصيل كل منهما بعداد أيون متطابق والهدف هو التنبؤ بأي عينة ستصل إلى 1000 توصيل أيون أولا. سيقدر فيزيائي لديه معرفة بالميكانيكا الكمية أن العينتين لهما احتمال متساوي للوصول إلى 1000 توصيل أولا. سيستخلص شخص عادي بدون معرفة نفس الاحتمال، ولكن من الجهل. يطلق على تقدير الفيزيائي اسم الاحتمال الموضوعي. يطلق على تقدير الشخص غير الفيزيائي عادة اسم الاحتمال الذاتي، ولكن Cox يفضل مصطلح "الاحتمال الأولي". هذا المصطلح يصف بشكل أفضل حالة فيها لا يعرف شيء عن المشكلة. يصف Cox بعد ذلك حالة فيها يتم رمي النرد عدة مرات وقد يكون أو لا يكون لديه جانبان مع أربعة نقاط. يجب أن يكون تكرار رمي الأربعة إما 1 في 6 أو واحد 1 في 3. في هذه الحالة، لا يمكن أن يتم الوصول إلى احتمال مستقر أبدا، ولكن يمكن تقديره. يستنتج Cox بعد ذلك أن التقدير يصبح "أكثر حدة" كلما تم إجراء المزيد من التجارب. وعلى الرغم من أن Cox لا يستخدم المصطلح، يطلق على هذا غالبا اسم "قانون الأعداد الكبيرة". ثم يتناول افتراض لابلاس، أن الاحتمال المجهول مرجح بالتساوي لأن يكون له أي قيمة بين 0 و 1. هذا الافتراض صحيح عموما، باستثناء الحالات التي تكون فيها قيمة الاحتمال 0 أو 1، أو عندما يكون عدد التجارب صغيرًا جدًا. يثبت Cox أن لابلاس كان على حق، ولكن بأقل عمومية مما افترض لابلاس. تحت تفسير Cox للاحتمال بوصفه توقعا معقولا، يقترب تكرار حدث من احتمال مستقر حيثما يزداد عدد الحوادث ويخلص: "هذا كل ما يجب أن نتوقعه منه". لا يمكن أبدا الوصول إلى "التكرار الحقيقي"، حيث لا يمكن إجراء عدد لا نهائي من التجارب.'
'تقيس الاحتمال كم نعرف عن حالة غير مؤكدة. هناك طريقتان رئيسيتان للتفكير في هذا. الطريقة الأولى هي النظر في مدى كثرة حدوث شيء إذا كررت تجربة عدة مرات. الطريقة الثانية هي التفكير في مدى منطقية توقع أن يحدث شيء بناءً على ما تعرفه. يعتقد معظم العلماء أن الطريقة الأولى هي الصحيحة، والتي تسمى "التكررية"، ولكن هذا الورقة التي كتبها ريتشارد كوكس تقول أن الطريقة الثانية أفضل. لإظهار كيف يختلف كل رأي، استخدم المؤلف مثالاً لاختيار كرة من box يحتوي على كرة بيضاء واحدة وكرتين سوداوين. الطريقة الأولى تقول إذا اخترت الكرة من هذا الbox عدة مرات، فسوف تحصل على كرة بيضاء واحدة من كل ثلاث مرات وأن تكرار ⅓ هو الاحتمال. الطريقة الثانية تقول أنه من المعقول توقع كرة بيضاء واحدة من كل ثلاث مرات. حتى لو كنت تستطيع اختيار كرة واحدة فقط، لا يزال من المعقول اعتبار هذا الاحتمال. هذه الطريقتان في الغالب تتفقان على كيفية حساب الاحتمالات. ولكن هناك بعض الحالات التي لا تعمل فيها الطريقة الأولى لأنه لا يمكنك تكرار التجربة إلى ما لا نهاية. قام فيلسوف يدعى جون ماينارد كاينز بإنشاء نظام لحساب الاحتمال استنادًا إلى المنطق (استخدام القواعد لإصدار الأحكام) بدلاً من التجارب المتكررة. كان المؤلف لهذه المقالة يريد التوصل إلى قواعد أساسية للإحتمال لنظام كاينز. استخدم رموز من الرياضيات والمنطق لإظهار الاحتمالات. مثال على ذلك هو "b|a" يعني "احتمال b إذا كان a صحيحا". يُظهر كيف يمكنك دمج الاحتمالات باستخدام الرياضيات، مثل جمعها معاً. كما يتحدث كوكس عن كيف أنه كلما كررت التجربة أكثر، تحصل على فكرة أفضل عن الاحتمال. يُظهر كيف كان الفيلسوف لابلاس صحيحاً بشأن هذا، ولكنه افترض بعض الافتراضات التي لم تكن صحيحة تمامًا. في النهاية، يقول كوكس أنه يمكنك فقط الاقتراب من الاحتمال الحقيقي لشيء ما من خلال قياس تكراره. ولكن هناك الكثير من الأوقات التي لا يمكنك قياس التكرار، ولكن يمكنك الاقتراب من توقع معقول.'
--------- Original ---------
The concept of probability has from the beginning of the theory involved two ideas: the idea of frequency in an ensemble and the idea of reasonable expectation. The choice of one or the other as the primary meaning of probability has distinguished the two main schools of thought in theory.' تنقسم نظرية الاحتمالات إلى وجهتين رئيسيتين. الأولى هي تفسير التكرار، الذي ينظر إلى معدل حدوث شيء ما عند تكرار التجربة. الثانية هي وجهة النظر التي تتوقع بشكل معقول، والتي تنظر إلى مدى احتمالية شيء ما بناءً على ما تعرفه. مؤلف هذا الورقة هو ريتشارد كوكس، وهو فيزيائي أمريكي. يجادل بأن تفسير التردد خاطئ ويقدم حالة لتفسير الاحتمال المتوقع بشكل معقول. يوفر المقال مثالًا على سحب كرة بيضاء من صندوق يحتوي على كرة بيضاء واحدة وكرتين سوداوين. إذا اخترت كرة واحدة من الصندوق مرات عديدة، ستختار كرة بيضاء مرة واحدة من كل 3 مرات. لذا، ستقول جانب التردد أن احتمال سحب الكرة البيضاء هو ⅓. ستقول وجهة النظر التي تتوقع بشكل معقول أنه من المعقول أن نتوقع سحب كرة بيضاء 1/3 من الوقت لأن ⅓ من الكرات بيضاء. هذه النظرات غالبا ما تحسب الاحتمالات بطريقة مماثلة. لكن هناك بعض الأفكار التي لها احتمال، ولكن لا يمكن اختبارها بواسطة تجارب متكررة. رأى الفيلسوف جون ماينارد كينز أن الاحتمال كان شيئًا يمكن التعبير عنه باستخدام المنطق (قواعد تتعلق بكيفية تعامل الأفكار مع بعضها البعض). أراد مؤلف هذا الورقة إنشاء قواعد أساسية للاحتمال، يسمى محوريات، للذهاب مع فلسفة كينز. أظهر أن هناك 11 محورية أساسية وأن ستة منها يمكن إنشاؤها من الخمس الأولى. كما علم كيف يمكن استخدام الرموز مثل "b|a" لتعني "احتمالية b إذا كان a صحيحًا". ثم أظهر كيف يمكن التلاعب بتلك الرموز التي تمثل الاحتمالات باستخدام عمليات الرياضيات. كما فحص كوكس فكرة، تسمى أحيانًا "قانون الأرقام الكبيرة"، والذي يقول كيف يصبح تقدير الاحتمال أكثر دقة بعد تكرار التجربة عدة مرات. أظهر أن الفيلسوف لابلاس كان على حق حول هذا، ولكن افترض بعض الافتراضات غير الصحيحة. في النهاية، يقول كوكس أن تقدير احتمال شيء ما يصبح أكثر استقرارًا بعد العديد من القياسات، ولكن هذا هو أقصى ما يمكنك القول. لذا، تفسير الاحتمال المتكرر لن يصل أبدا إلى تكرار الاحتمال الحقيقي لأنك لن تتمكن أبدا من تشغيل عدد لا نهائي من التجارب. وهناك الكثير من الأوقات التي لا يمكنك حتى تشغيل تجارب متعددة، لذا فإن تفسير التوقعات المعقولة يكون أكثر معنى في المزيد من المواقف.'
--------- Original ---------
The concept of probability has from the beginning of the theory involved two ideas: the idea of frequency in an ensemble and the idea of reasonable expectation. The choice of one or the other as the primary meaning of probability has distinguished the two main schools of thought in theory.- Tags:
- Richard T Cox
