By R T. Cox

Summary

'Los teóricos de la probabilidad están principalmente divididos en dos campos. Ambos están preocupados por las frecuencias dentro de un marco predictivo y expectativas razonables. Pero cada lado prioriza uno sobre el otro como el concepto principal de la probabilidad. La interpretación de la frecuencia es más popular, pero el autor de este documento, Richard Cox, cree que esto es un error. Proporciona el ejemplo de una caja que contiene dos bolas blancas y una bola negra, idénticas excepto por el color. Luego explica cómo cada grupo interpretaría esta situación. La interpretación frecuentista evaluaría la probabilidad de que se extraiga una bola blanca como ⅔. Resuelven el problema imaginando sacar una bola de un número indefinido de cajas; o sacar repetidamente una bola de una caja y luego reemplazarla. En cualquier caso, durante un gran número de repeticiones, la frecuencia de que se extraiga una bola blanca convergería en ⅔. Según ellos, esto no es una predicción de la teoría de la probabilidad, sino una definición de la probabilidad. La probabilidad es una característica del "ensemble" (configuración de prueba) y no existe sin ella. En la segunda interpretación, la teoría de la probabilidad proporciona la expectativa razonable de sacar una bola blanca dos tercios del tiempo y una bola negra un tercio del tiempo. Esta medida de expectativa razonable es el significado principal de probabilidad según el segundo grupo. Las dos interpretaciones de probabilidad tienen mucho en común. Ambos métodos pueden calcular algebraicamente la probabilidad de que ocurra o no un evento, que ocurra uno u otro evento, o que ocurran ambos eventos. Cada uno también especifica que si es poco probable que ocurra un evento, entonces es más probable que no ocurra. Asimismo, la probabilidad de que dos eventos ocurran juntos es menor que la probabilidad del menos probable de los dos. Si las frecuencias y las expectativas razonables fueran perfectamente intercambiables, entonces la división entre los teóricos de la probabilidad sería puramente gramatical. Sin embargo, hay diferencias importantes. En algunos casos, es imposible imaginar un conjunto que pudiera probar repetidamente la frecuencia de un evento. Pero hay casos en los que una probabilidad no puede ser determinada por un conjunto. Por ejemplo, existe una noción en la ciencia de que una hipótesis simple es preferida a una compleja. Que dos o más postulados sean verdaderos es menos probable que un solo postulado de la misma probabilidad sea verdadero. Esta preferencia es una creencia razonable, pero no tiene una frecuencia comprobable. Cox argumenta que la debilidad de la interpretación frecuentista es que hay tantas situaciones en las que un conjunto definible no existe. Las reglas que se derivaron de las pruebas de frecuencias dentro de los conjuntos no se pueden justificar en usos fuera de este dominio. John Maynard Keynes desarrolló una teoría original de probabilidad que no depende de la frecuencia. Para Keynes, la teoría de la probabilidad es una forma de lógica que se aplica a las inferencias probables. La probabilidad es, por lo tanto, el grado de creencia racional correspondiente a una hipótesis y su conclusión. La probabilidad excluye la certeza absoluta y la imposibilidad (el dominio de la lógica deductiva), pero se preocupa por los valores entre estos extremos. La definición de la frecuencia de la incertidumbre es inválida porque trata la probabilidad como una propiedad de un objeto que tiene un cierto valor, como la distancia o el tiempo en la mecánica. Mientras que Cox está de acuerdo con las opiniones de Keynes sobre las probabilidades, sintió que todavía había trabajo que hacer en la definición de sus axiomas fundamentales. Muchos de los postulados de la teoría de la probabilidad keynesiana provienen del estudio de los juegos de azar (volteos de monedas, dados, juegos de cartas) y llevan las "marcas de herramientas" de este origen. El objetivo de Cox era derivar los axiomas fundamentales de la probabilidad independientemente de cualquier conjunto. Para hacer esto, Cox describe los fundamentos de la lógica simbólica y proporciona once axiomas fundamentales. De estos, seis son fundamentales y los cinco restantes pueden derivarse de los primeros. Estos axiomas proporcionan las reglas básicas por las cuales se pueden realizar manipulaciones algebraicas en expresiones de probabilidad lógica, que él define a continuación. Utiliza los símbolos b|a para describir la probabilidad de b si a se acepta como verdadero. Esto se reformula como "la credibilidad de b en la hipótesis a." Las fórmulas matemáticas pueden usarse para operar en expresiones de probabilidad en esta forma. Cox demuestra varias, incluyendo la multiplicación y los exponenciales. La suposición más importante de esta sección es que la probabilidad de c y b dado a (c·b|a) es igual a la probabilidad de c dado b y a y también b dado a (c·b|a = c|b·a , b|a). Cox explica esto con un ejemplo de la probabilidad de que un corredor pueda recorrer una cierta distancia y volver en una cierta pista sin parar. El valor a es lo que sabemos sobre la condición física del corredor y la pista. El valor b es la evidencia de que ha recorrido una cierta distancia sin parar. El valor c es que él''ha regresado de esa distancia sin parar. La probabilidad de que el corredor pueda correr la primera etapa sin detenerse dada lo que sabemos de a es: b|a. La probabilidad de que el corredor regrese sin detenerse dado que se completó la primera etapa y también dado lo que sabemos de a es: (c|b·a). Así, la probabilidad de que el corredor pueda correr una cierta distancia y regresar (c·b|a) es una función de las dos primeras probabilidades. Un segundo supuesto se refiere a la probabilidad de b y no-b dado a. El símbolo, ~b, se usa para significar “no b” en el sentido de que si b significa “el coche es blanco”, entonces ~b significa “el coche no es blanco”. El símbolo ~ no implica la contradicción, que sería “el coche es negro”. Una fórmula importante a saber de esta sección es que la probabilidad de b|a + ~b|a = 1. En otras palabras, la suma de probabilidades para b dado a y no-b dado a es 1 (un valor de probabilidad de 1 significa certeza completa). La primera parte de este papel argumentó que la probabilidad tiene un alcance más amplio más allá de lo que implica la definición de frecuencia. La segunda parte derivó las reglas básicas de probabilidad de axiomas fundamentales. La tercera parte del ensayo explica cómo este nuevo entendimiento de la probabilidad maneja la frecuencia de un evento. Cox da el ejemplo de dos muestras de radón. Una es más antigua que la otra, pero están sin etiquetar. Cada una está conectada a un contador de iones idéntico y el objetivo es predecir qué muestra alcanzará 1000 conteos de iones primero. Un físico con conocimiento de la mecánica cuántica estimaría que las dos muestras tienen la misma probabilidad de alcanzar 1000 conteos primero. Una persona ordinaria sin conocimiento derivaría la misma probabilidad, pero por ignorancia. La estimación del físico se llama probabilidad objetiva. La estimación de la no física se llama comúnmente probabilidad subjetiva, aunque Cox prefiere el término "probabilidad primaria". Este término describe mejor una situación en la que no se sabe nada sobre el problema. Luego Cox describe una situación en la que un dado se lanza muchas veces y puede o no tener dos lados con cuatro puntos. La frecuencia de lanzar un cuatro debería ser 1 en 6 o 1 en 3. En este caso, nunca se puede alcanzar una probabilidad estable, pero se puede estimar. Cox luego deriva que una estimación se vuelve “más aguda” cuantos más ensayos se hayan realizado. Aunque Cox no usa el término, esto a menudo se llama "the Law of Large Numbers". Luego se dirige a un supuesto de Laplace, que una probabilidad desconocida es igualmente probable que tenga cualquier valor entre 0 y 1. Este supuesto es generalmente cierto, excepto en casos donde el valor de probabilidad es 0 o 1, o cuando el número de ensayos es muy pequeño. Cox demuestra que Laplace estaba en lo correcto, pero con menos generalidad de la que supuso Laplace. Bajo la interpretación de expectativa razonable de la probabilidad de Cox, la frecuencia de un evento se acerca a una probabilidad estable a medida que aumenta el número de instancias y concluye: "eso es todo lo que deberíamos esperar de él". Una “verdadera” frecuencia nunca se puede alcanzar, ya que no se pueden realizar un número infinito de experimentos.'

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