By R T. Cox

Summary

'Les théoriciens de la probabilité sont principalement divisés en deux camps. Tous deux se préoccupent des fréquences dans un cadre prédictif et des attentes raisonnables. Cependant, chaque camp privilégie l'un ou l'autre comme concept principal de la probabilité. L'interprétation de la fréquence est la plus populaire, mais l'auteur de ce document, Richard Cox, pense que c'est une erreur. Il donne l'exemple d'une boîte contenant deux balles blanches et une balle noire, identiques sauf pour la couleur. Il explique ensuite comment chaque groupe interpréterait cette situation. L'interprétation fréquentiste évaluerait la probabilité de tirer une balle blanche à ⅔. Ils résolvent le problème en imaginant tirer une balle d'un nombre indéfini de boîtes ; ou en tirant à plusieurs reprises une balle d'une boîte et en la remplaçant. Dans les deux cas, sur un grand nombre de répétitions, la fréquence de tirage d'une balle blanche convergerait vers ⅔. Selon eux, il ne s'agit pas d'une prédiction de la théorie de la probabilité, mais d'une définition de la probabilité. La probabilité est une caractéristique de l'"ensemble" (configuration de test) et n'existe pas sans lui. Dans la deuxième interprétation, la théorie de la probabilité donne l'attente raisonnable de tirer une balle blanche deux tiers du temps et une balle noire un tiers du temps. Cette mesure d'attente raisonnable est la signification principale de la probabilité selon le deuxième groupe. Les deux interprétations de la probabilité ont beaucoup en commun. Les deux méthodes peuvent calculer algébriquement la probabilité qu'un événement se produise ou non, qu'un événement ou un autre se produise, ou que les deux événements se produisent. Chacune spécifie également que si un événement est peu probable, il est plus probable qu'il ne se produise pas. De même, la probabilité que deux événements se produisent ensemble est inférieure à la probabilité de l'événement le moins probable des deux. Si les fréquences et les attentes raisonnables étaient parfaitement interchangeables, alors la division entre les théoriciens de la probabilité serait purement grammaticale. Cependant, il y a des différences importantes. Dans certains cas, il est impossible d'imaginer un ensemble qui pourrait tester à plusieurs reprises la fréquence d'un événement. Mais il y a des cas où une probabilité ne peut être déterminée par un ensemble. Par exemple, il y a une notion dans la science qu'une hypothèse simple est préférée à une hypothèse complexe. Le fait que deux ou plusieurs postulats soient vrais est moins probable qu'un seul postulat de la même probabilité soit vrai. Cette préférence est une croyance raisonnable, mais n'a pas de fréquence testable. Cox soutient que la faiblesse de l'interprétation fréquentiste est qu'il existe tant de situations où un ensemble définissable n'existe pas. Les règles qui ont été dérivées des tests de fréquences au sein des ensembles ne peuvent être justifiées en dehors de ce domaine. John Maynard Keynes a développé une théorie originale de la probabilité qui ne dépend pas de la fréquence. Pour Keynes, la théorie de la probabilité est une forme de logique qui s'applique aux inférences probables. La probabilité est donc le degré de croyance rationnelle correspondant à une hypothèse et à sa conclusion. La probabilité exclut la certitude absolue et l'impossibilité (le domaine de la logique déductive), mais concerne les valeurs entre ces extrêmes. La définition de l'incertitude par la fréquence est invalide car elle traite la probabilité comme une propriété d'un objet qui a une certaine valeur, comme la distance ou le temps en mécanique. Alors que Cox est d'accord avec les vues de Keynes sur les probabilités, il estimait qu'il restait encore du travail à faire pour définir ses axiomes fondamentaux. Beaucoup de postulats de la théorie de la probabilité de Keynes proviennent de l'étude des jeux de hasard (tirage de pièces, dés, jeux de cartes) et portent les "marques d'outil" de cette origine. L'objectif de Cox était de dériver les axiomes fondamentaux de la probabilité indépendamment de tout ensemble. Pour ce faire, Cox expose les bases de la logique symbolique et donne onze axiomes fondamentaux. Parmi ceux-ci, six sont fondamentaux et les cinq restants peuvent être dérivés des premiers. Ces axiomes fournissent les règles de base selon lesquelles les manipulations algébriques peuvent être effectuées sur les expressions de la probabilité logique, qu'il définit ensuite. Il utilise les symboles b|a pour décrire la probabilité de b si a est accepté comme vrai. Il reformule cela comme "la crédibilité de b sur l'hypothèse a". Des formules mathématiques peuvent être utilisées pour opérer sur des expressions de probabilité sous cette forme. Cox en démontre plusieurs, y compris la multiplication et les exponentielles. L'hypothèse la plus importante de cette section est que la probabilité de c et b étant donné a (c·b|a) égale la probabilité de c étant donné b et a et aussi b étant donné a (c·b|a = c|b·a , b|a). Cox explique cela avec un exemple de la probabilité qu'un coureur puisse parcourir une certaine distance et revenir sur une certaine piste sans s'arrêter. La valeur a est ce que nous savons sur l'état physique du coureur et de la piste. La valeur b est la preuve qu'il a parcouru une certaine distance sans s'arrêter. La valeur c est qu'il''est revenu de cette distance sans s'arrêter. La probabilité que le coureur puisse courir le premier segment sans s'arrêter, compte tenu de ce que nous savons de a est: b|a. La probabilité que le coureur revienne sans s'arrêter, étant donné que le premier segment a été accompli et compte tenu également de ce que nous savons de a est: (c|b·a). Ainsi, la probabilité que le coureur puisse courir une certaine distance et revenir (c·b|a) est une fonction des deux premières probabilités. Une deuxième hypothèse concerne la probabilité de b et non-b compte tenu de a. Le symbole, ~b, est utilisé pour signifier "pas b" dans le sens où si b signifie "la voiture est blanche", alors ~b signifie "la voiture n'est pas blanche". Le symbole ~ n'implique pas la contradiction, qui serait "la voiture est noire". Une formule importante à connaître de cette section est que la probabilité de b|a + ~b|a = 1. En d'autres termes, la somme des probabilités pour b compte tenu de a et non-b compte tenu de a est 1 (une p-value de 1 signifie une certitude totale). La première partie de cet article soutenait que la probabilité a une portée plus large que ce que la définition de fréquence implique. La deuxième partie a dérivé les règles de base de la probabilité à partir d'axiomes fondamentaux. La troisième partie de l'essai explique comment cette nouvelle compréhension de la probabilité traite la fréquence d'un événement. Cox donne l'exemple de deux échantillons de radon. L'un est plus vieux que l'autre, mais ils ne sont pas étiquetés. Chacun est relié à un compteur d'ions identique et l'objectif est de prédire quel échantillon atteindra 1000 comptages d'ions en premier. Un physicien avec des connaissances en mécanique quantique estimerait que les deux échantillons ont la même probabilité d'atteindre 1000 comptages en premier. Une personne ordinaire sans connaissance dériverait la même probabilité, mais par ignorance. L'estimation du physicien est appelée une probabilité objective. L'estimation de la personne non-physicienne est communément appelée une probabilité subjective, bien que Cox préfère le terme "probabilité primaire". Ce terme décrit mieux une situation dans laquelle rien n'est connu sur le problème. Cox décrit ensuite une situation dans laquelle un dé est lancé plusieurs fois et peut ou non avoir deux faces avec quatre points. La fréquence de l'obtention d'un quatre devrait être soit 1 sur 6, soit 1 sur 3. Dans ce cas, une probabilité stable ne peut jamais être atteinte, mais elle peut être estimée. Cox déduit alors qu'une estimation devient "plus précise" plus il y a eu d'essais. Bien que Cox n'utilise pas le terme, c'est souvent appelé "la Loi des Grands Nombres". Il aborde ensuite une hypothèse de Laplace, selon laquelle une probabilité inconnue est aussi probable d'avoir n'importe quelle valeur entre 0 et 1. Cette hypothèse est généralement vraie, sauf dans les cas où la p-value est 0 ou 1, ou lorsque le nombre d'essais est très petit. Cox prouve que Laplace avait raison, mais avec moins de généralité que Laplace ne le supposait. Selon l'interprétation de l'attente raisonnable de Cox de la probabilité, la fréquence d'un événement tend vers une probabilité stable à mesure que le nombre d'instances augmente et il conclut: "c'est tout ce qu'on devrait en attendre". Une "vraie" fréquence ne peut jamais être atteinte, puisqu'un nombre infini d'expériences ne peut être réalisé.'

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